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  • 直线与平面的位置关系

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    总 课 题 点、线、面之间的位置关系 总课时 第11课时
    分 课 题 直线与平面的位置关系(三) 分课时 第3课时
    教学目标 了解直线和平面所成角的概念和范围;能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理.
    重点难点 直线与平面所成角的概念.
    引入新课
    1.通过观察一条直线与一个平面相交,思考如何量化它们相交程度的不同.
    2.平面的斜线的定义:                                                         ;
                          叫做斜足;                     叫做这个点到平面的斜线段.
    3.过平面外一点 向平面 引斜线和垂线,那么过斜足 与垂足
    的直线就是                                        ;
    线段 就是线段                               .
    4.斜线与平面所成的角的概念                      
                      ,其范围是                    .
    指出右上图中斜线 与平面 所成的角是          ,你能证明这个角是 与平面 内经过点 的直线所成的所有角中最小的角吗?
    一条直线垂直于平面时,这条直线与平面所成的角是         ;
    一条直线与平面平行或在平面内,我们说他们所成的角是         .
    思考:直线与平面所成的角的范围是                      .
    例题剖析
    例1  如图:已知 , 分别是平面 垂线和斜线, 分别是垂足和斜足,   ,   ,求证:   .
     

    能用文字语言表述这个结论吗?
    例2  如图,∠BAC在平面 内,点P   ,∠PAB=∠PAC.求证:点P在平面 内的射影在∠BAC的平分线上.
     
    [思考]:
    (1)若∠PAB=∠PAC=60°,∠BAC=90°,则直线PA与 所成角的大小__________.

    (2)从平面 外同一点引平面的斜线段长相等,那么它们在 内射影长相等吗?反之成立吗?

    (3)若将例2中条件“∠PAB=∠PAC”改为“点P到∠BAC的两边AB、AC的距离相等”,结论是否仍然成立?

    (4)你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗?

    巩固练习
    1.如图, , 平面 ,则在 的边所在直线中:
    (1)与 垂直的直线有:                            
    (2)与 垂直的直线有:                            
    2.在正方体 中,直线 与平面
    所成的角是           
    3.如果PA、PB、PC两两垂直, 那么P在平面ABC内的射影一定是△ABC的  (     )
      A.重心         B.内心          C.外心           D.垂心
    4.如图,一块正方体木料的上底面内有一点 ,要经过点 在上底面内画一条直线与 垂直,应怎样画?
    课堂小结
    平面的斜线及斜线在平面内的射影的概念;直线与平面所成的角概念、范围.
     
    课后训练
    一 基础题
    1.若直线 与平面 不垂直,那么在平面 内与直线 垂直的直线         (    )
     只有一条      有无数条      是平面 内的所有直线      不存在
    2.设PA、PB、PC是从点P引出的三条射线, 每两条的夹角都等于60°,
    则直线PC与平面APB所成角的余弦值是          .
    3.在三棱锥P-ABC中,顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心,
    则三条侧棱PA、PB、PC大小关系是_________________.
    二 提高题
    4.在四棱锥 中, 是矩形, 平面 .
    (1)指出图中有哪些三角形是直角三角形,并说明理由;
    (2)若 ,试求 与平面 所成角的正切值.
     

    5.求证:如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直.
     
    三 能力题
    6.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC上的射影O是△ABC的垂心,求证:PA⊥BC.

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